Weak-Star Topology

定义 Definition

weak-star topology（弱*拓扑）：泛函分析中的一种拓扑，通常记作 σ(X*, X)。它定义在某个线性空间 X 的对偶空间 X* 上，使得对每个固定的 \(x \in X\)，映射
\[ f \in X^* \mapsto f(x) \] 都是连续的。直观地说，在弱*拓扑下，“\(f_n \to f\)”表示对所有 \(x\in X\)，都有 \(f_n(x)\to f(x)\)（逐点在 \(X\) 上收敛）。
（注：不同于 weak topology（弱拓扑），弱*拓扑是“对偶空间相对于原空间”的拓扑。）

例句 Examples

The sequence converges in the weak-star topology but not in norm.
这个序列在弱*拓扑下收敛，但不在范数意义下收敛。

By the Banach–Alaoglu theorem, the closed unit ball of \(X^*\) is compact in the weak-star topology.
由巴拿赫–阿劳格鲁定理可知，\(X^*\) 的闭单位球在弱*拓扑下是紧的。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌwiːk ˈstɑːr təˈpɑːlədʒi/

词源 Etymology

weak 表示“弱的、较弱的收敛/拓扑”，强调它比范数拓扑更“粗”（更少的开集，因此更容易收敛）；star（*） 来自记号 X*（对偶空间），用星号标记“对偶”；topology 源自希腊语词根，指“关于连续性与开集结构的学问”。因此 weak-star topology 字面可理解为“定义在对偶空间上的弱（收敛）拓扑”。

相关词 Related Words

• Banach
• Compactness
• Dual
• Functional
• Hahn-Banach
• Norm
• Topology
• Weak

文学与经典著作 Literary Works

• Walter Rudin, Functional Analysis（讨论弱拓扑与弱*拓扑、对偶空间与紧性结论）
• John B. Conway, A Course in Functional Analysis（系统讲解弱/弱*拓扑与 Banach–Alaoglu 定理）
• R. E. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory（弱*拓扑在巴拿赫空间理论中的核心应用）
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations（在变分方法与 PDE 相关背景中频繁使用弱与弱*收敛）
• Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications（入门层面介绍对偶、弱收敛与相关拓扑观点）